概率论公式纲要

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典型的分布

泊松分布

  • 其符号为$\pi$

$$
P{X=k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,…,
$$

性质

  • 估算公式

    • $$
      \lim\limits_{n\rightarrow\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{(n-k)}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}
      $$

  • 其期望和方差均为$\lambda$

指数分布

  • 符号为$E$

$$
f(x)=\left{
\begin{matrix}
\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} &,x>0\
0&,其他
\end{matrix}
\right.
$$

性质

  • 分布函数
    $$
    F(x)=\left{
    \begin{matrix}
    1-e^{-\frac{x}{\theta}} &,x>0\
    0&,其他
    \end{matrix}
    \right.
    $$

  • 其期望为$\theta$，方差为$\theta^2$

正态分布

  • 其符号为$N$

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},x∈R
$$

性质

  • 查表
    $$
    F(x)=P{X≤x}=\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})
    $$

协方差和相关系数

定义

$$
Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
$$

$$
p_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)})}
$$

性质

  • $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
  • $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
  • $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
  • $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
  • $|p_{xy}|<1$

切比雪夫不等式

$$
P(|X-E(X)|≥\varepsilon)≤\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}
$$