概率论公式纲要

典型的分布

泊松分布

• 其符号为π

$$ P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,…, $$ #### 性质

• 估算公式

  • $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{(n-k)}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} $$

• 其期望和方差均为λ

指数分布

• 符号为E

$$ f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} &,x>0\\ 0&,其他 \end{matrix} \right. $$

性质

• 分布函数 $$ F(x)=\left\{ \begin{matrix} 1-e^{-\frac{x}{\theta}} &,x>0\\ 0&,其他 \end{matrix} \right. $$

• 其期望为θ，方差为θ²

正态分布

• 其符号为N

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},x∈R $$

性质

• 查表 $$ F(x)=P\{X≤x\}=\phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) $$

协方差和相关系数

定义

Cov(X, Y) = E{[X − E(X)][Y − E(Y)]}

$$ p_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)})} $$

性质

• D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)
• Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)
• Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)
• Cov(X₁ + X₂, Y) = Cov(X₁, Y) + Cov(X₂, Y)
• |p_xy| < 1

切比雪夫不等式

$$ P(|X-E(X)|≥\varepsilon)≤\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$